Knots and colours
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Ayuda a traducir →La pregunta
Tie a knot in a piece of string and glue the two ends together. How could you prove that it really is knotted — that no amount of wiggling, without cutting, will turn it into a plain loop?
Prueba el experimento antes de seguir leyendo. No hay una forma equivocada de explorar.
Experimento
Colorear nudos con tres colores
Colorea cada arco del diagrama. En cada cruce, los tres arcos que se encuentran deben ser todos del mismo color o todos de colores distintos.
Haz clic en un arco para cambiar su color (o selecciónalo y pulsa Intro, o 1, 2, 3). Un arco va de un paso por debajo al siguiente.
- Cruces en este diagrama
- 3
- Número de cruces (el mínimo posible)
- 3
Arcos coloreados: 0 de 3.
¿Por qué esta regla? Dos diagramas cualesquiera del mismo nudo están relacionados por tres tipos de movimientos locales, los movimientos de Reidemeister: añadir o quitar un giro, deslizar una hebra por encima de otra y deslizar una hebra más allá de un cruce. Cada movimiento convierte una coloración válida con dos o más colores en otra.
El trébol se puede tricolorear y el nudo trivial no. Como la tricolorabilidad es un invariante, por mucho que lo muevas el trébol no se convierte en el nudo trivial: el trébol está realmente anudado.
Por eso la tricolorabilidad es un invariante de nudos: si un diagrama de un nudo se puede tricolorear, todos sus diagramas se pueden. Una circunferencia sola tiene un único arco, así que el nudo trivial no se puede tricolorear.
Pistas, si las quieres
Qué está pasando
Qué está pasando
A knot diagram is a network drawing with crossings, like the ones in the dots-and-lines lesson, except that at each crossing we record which strand goes over. Two diagrams show the same knot exactly when one can be changed into the other by moving the string around — and in 1927 Kurt Reidemeister proved that it is enough to use three simple local moves: adding or removing a twist, sliding one strand over another, and sliding a strand past a crossing.
The colouring rule in the hints is called tricolouring. Each of Reidemeister's moves can be checked to keep a good colouring good (and to keep "at least two colours" true). So whether a knot can be tricoloured does not depend on how it is drawn: it is a knot invariant.
A plain loop drawn with no crossings has a single arc, so it can only ever use one colour: it is not tricolourable. The trefoil is. Therefore the trefoil is genuinely knotted — no wiggling will undo it. That is a proof, not just evidence.
Invariants have limits. The figure-eight knot cannot be tricoloured either, yet it is knotted too; showing that needs stronger invariants, such as colourings with five colours or the Jones polynomial (Vaughan Jones, 1984). Remarkably, there are algorithms that decide whether any given diagram is the unknot (Wolfgang Haken, 1961) — but whether the Jones polynomial alone can always recognise the unknot is still an open question.
Adónde lleva esto
- Universidad avanzada · Lección disponibleKnot theoryKnots and links in space and their diagrams, Reidemeister moves, invariants that tell knots apart (tricolourability and Fox colourings, linking number, the Kauffman bracket and Jones polynomial), Seifert surfaces and genus, and an honest map of what is known and open.
- Caminos de investigación · Lección disponibleLow-dimensional topology: 3- and 4-manifoldsOptional research direction: 3-manifolds through Heegaard splittings, surgery and the eight Thurston geometries; the Poincaré conjecture and geometrisation (Perelman); hyperbolic 3-manifolds; and the strange world of 4-manifolds (Freedman, Donaldson, exotic ℝ⁴), separating established results from open questions.
- Caminos de investigación · Lección disponibleCategorical representation theoryOptional research direction: representations on categories rather than vector spaces, including tensor and fusion categories, module categories, categorical actions and categorification, such as Chuang–Rouquier sl₂-categorification and Khovanov homology.